向量是2D、3D数学研究的标准工具，在3D游戏中向量是基础。
一、向量
1、向量的数学定义
- 向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。
- 向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。
- 书写向量时，用方括号将一列数括起来，如[1,2,3] 水平书写的向量叫行向量 垂直书写的向量叫做列向量
2、向量的几何意义
- 几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量有非负的长度。
- 向量的方向描述了空间中向量的指向。
- 向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始
- 向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标方向和y坐标方向的位移。
3、向量与点
- “点”有位置，但没有实际的大小或厚度，“向量”有大小和方向，但没有位置。所以使用“点”和“向量”的目的完全不同。”点”描述位置，“向量”描述位移。
4、点和向量的关系：任意一点都能用 从原点开始的向量来表达。
二、向量运算
1、零向量
- 零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量。对于其他任意数m,存在无数多个大小（模）为m的向量，他们构成一个圆。零向量也是唯一一个没有方向的向量。
2、负向量
- 负运算符也能应用到向量上。每个向量v都有一个加性逆元-v，它的维数和v一样，满足v+(-v)=0。要得到任意维向量的负向量，只需要简单地将向量的每个分量都变负即可。
- 几何解释：向量变负，将得到一个和向量大小相等，方向相反的向量。
3、向量大小（长度或模）
- 在线性代数中，向量的大小用向量两边加双竖线表示，向量的大小就是向量各分量平方和的平方根 ||v||=√(x^2+y^2) （2D向量v） ||v||=√(x^2+y^2+z^2) (3D向量v)
- 几何解释：在2D中的任意向量v，能构造一个以v为斜边的直接三角形，由勾股定理可知，对于任意直角三角形，斜边的长度平方等于两直角边长度的平方和。 ||v||^2 = x^2 + y^2
4、标量与向量的乘法
- 虽然标量与向量不能相加，但它们可以相乘。结果将得到一个向量。与原向量平行，但长度不同或者方向相反。
- 标量与向量的乘法非常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。如：k[x,y,z] = [xk,yk,zk]
- 向量也能除以非零向量，效果等同于乘以标量的倒数。如：[x,y,z]/k = [x/k,y/k,z/k]
- 标量与向量相乘时，不需要些乘号，将两个量挨着写即表示相乘。
- 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和乘法
- 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量。
- 负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1。
- 几何解释:向量乘以标量k的效果是以因子|k|缩放向量的长度，例如：为了使向量的长度加倍，应使向量乘以2.如果k<0，则向量的方向被倒转。
5、标准化向量
- 对于许多向量，我们只关心向量的方向不在乎向量的大小，如：“我面向的是什么方向？”，在这样的情况下，使用单位向量非常方便，单位向量就是大小为1的向量，单位向量经常也被称作为标准化向量或者法线。
- 对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量k,这个过程被称作向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。 k=v/||v||,v!=0;
- 零向量不能被标准化，数学上这是不允许的，因为将导致除以零，几何上也没有意义，零向量没有方向。
- 几何解释：2D环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆。3D环境中单位向量将接触单位球。
6、向量的加法和减法
- 两个向量的维数相同，那么它们能相加，或者相减。结果向量的维数与原向量相同。向量加减法的记发和标量加减法的记法相同。例如：[x,y,z] + [a,b,c] = [x+a,y+b,z+c]
- 减法解释为加负向量，a-b=a+(-b) 例如： [x,y,z] – [a,b,c] = [x-a,y-b,c-z]
- 向量不能与标量或维数不同的向量相加减。
- 和标量加法一样，向量加法满足交换律，但向量减法不满足交换律，永远有a+b = b+a,但a-b=-(b-a),仅当a=b时，a-b = b-a
- 几何解释：向量a和向量b相加的几何解释为：平移向量，使向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”。
- 计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的需求，可以使用三角形法则和向量减法来解决这个问题，如： 上图 d-c 计算出 c 到 d 的位移向量。
7、距离公式
- 距离公式用来计算两点之间的距离。从上面可以得知两点间的位移向量通过向量减法可以得知，既然得到了两点间的位移向量，那么求出位移向量的模，就能计算出两点间的位移。
8、向量点乘
- 标量和向量可以相乘，向量和向量也可以相乘。有两种不同类型的乘法，点乘、叉乘
- 点乘的记法来至a·b中的点。与标量和向量的乘法一样，向量点乘的优先级高于加法和减法。标量乘法和标量与向量的乘法可以省略乘号，但在向量点乘中不能省略点乘号。向量点乘就是对应分量乘积的和。其结果是一个标量. [x,y,z] · [a,b,c] = ax+by+cz;
- 几何解释：一般来说，点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两个向量越相近，点乘和向量间的夹角相关 计算两向量间的夹角 θ = arccos(a·b)
9、向量投影
- 给定两个向量v和n,能够将v分解成两个分量， 它们分别垂直和平行于向量n，并且满足 两向量相加等于向量v，一般称平行分量为v在向量n上的投影。
- 平行分量公式： 平行分量 = n(v·n)/||n||^2
- 垂直分量公式: 垂直分量 = ||v|| – n(v·n)/||n||^2
10、向量叉乘
- 向量叉乘得到一个向量，并且不满足交换律。 它满足反交换律 a × b = -(b × a) 叉乘公式：[x,y,z] × [a,b,c] = [yc-zb , za-xc , xb-ya]
- 当点乘和叉乘在一起时，叉乘优先计算， a · b × c = a·(b×c) 因为点乘返回一个标量，同时标量和向量间不能叉乘。
- 几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。
- a × b 的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积，||a × b|| = ||a|| ||b|| sinθ ||a × b||也等于以a和b为两边的平时四边形的面积。
- 叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形、多边形的向量。